Kādām \(a\) vērtībām vienādojumu sistēmai
\[\left\{\begin{array}{l} x+y=2 \\ x^{2}+y^{2}=a \\ x^{3}+y^{3}=a+2 \end{array}\right.\]
ir atrisinājums reālos skaitļos?
Atbilde: \(a=3\).
Kāpinot pirmo vienādojumu kvadrātā un atņemot otro, iegūst \(2xy=4-a\) jeb \(xy=2-\frac{a}{2}\). Tad \(x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-xy+x^{2}\right)=2\left(a-2+\frac{a}{2}\right)=3a-4=a+2\) jeb \(a=3\).
Ievietojot dotajā sistēmā \(a=3\), un atrisinot to, iegūstam atrisinājumus \(x=1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}}, y=1 \mp \sqrt{\frac{1}{2}}\).