Atrisinājums

Pieņemsim, ka \(\sphericalangle C=90^{\circ}\), \(AC>BC\) (skat. 1.zīm.). \(\sphericalangle CDA=90^{\circ}\) (ievilkts leņķis, kas balstās uz diametru), tātad \(CD\) ir \(\triangle ABC\) augstums un \(\triangle ABC-\triangle ACD-\triangle CBD\). Apzīmēsim \(AC=b,\ BC=a,\ AB=c,\ CD=h\), \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\). Nevar būt, ka \(BD=BC\) (tad \(\triangle CBD\) būtu vienādsānu ar taisnu leņķi pie pamata - nav iespējams), tāpēc \(AD=BC=a\). No \(\triangle ABC-\triangle ACD\) seko

\[\begin{equation} \frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD} \Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD} \Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{b}{h} \tag{1} \end{equation}\]

No \(\triangle ACD-\triangle CBD\) seko \(\frac{CD}{BD}=\frac{DA}{CD} \Rightarrow \frac{h}{c-a}=\frac{a}{h} \Rightarrow h^{2}=a(c-a)\). Ievietojot šo sakarību un vienādībā (1), iegūstam \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{\sqrt{a(c-a)}}=\sqrt{\frac{(c-a)(c+a)}{a(c-a)}}=\sqrt{\frac{c}{a}+1}\). Apzīmējot \(\frac{c}{a}=k\), iegūstam \(k=\sqrt{k+1} \Rightarrow k^{2}=k+1\). Iegūtā vienādojuma saknes ir \(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\). Tā kā \(k>0\), tad meklētā attiecība ir \(\frac{c}{a}=k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).