Virkni \(V\), kas sastāv no cipariem \(0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 9\) sauc par universālu, ja jebkuru virkni, kurā katrs cipars sastopams tieši vienu reizi, var iegūt no \(V\), izsvītrojot tajā dažus ciparus. Pierādīt, ka universāla virkne satur vismaz \(55\) ciparus.
Ar indukciju pierādīsim vispārīgāku apgalvojumu.
Virkni, kas sastāv no cipariem \(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\) sauc par universālu, ja no tās, izsvītrojot dažus ciparus, var iegūt jebkuru virkni, kurā katrs no cipariem \(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\) ir tieši vienu reizi. Tad universālas virknes garums nevar būt mazāks par \(\frac{k(k+1)}{2}\).
\(\underline{Indukcijas bāze.}\) Ja \(k=1\), tad \(\frac{k(k+1)}{2}=1\) un netukšā virknē ir vismaz \(1\) simbols.
Tagad pieņemsim, ka apgalvojums ir pierādīts \(k\) cipariem un pierādīsim to \(k+1\) ciparam. Pieņemsim, ka ir universāla virkne garumā \(S\). Pēc Dirihlē principa vismaz viens no cipariem \(c\) nav starp pirmajiem \(k\) universālās virknes cipariem. Izsvītrosim visus ciparus \(c\) un visus ciparus, kas ir pirms pirmā cipara \(c\). Atlikušās virknes garums būs ne vairāk kā \(S-k-1\), jo tika izsvītrots vismaz viens \(c\) un vismaz \(k\) cipari pirms pirmā \(c\).
Atlikusī virkne ir universāla, jo, ja virkni \(ca_{1}a_{2} \ldots a_{k}\) varēja iegūt no sākotnējās virknes, tad šīs virknes daļa \(a_{1}a_{2} \ldots a_{k}\) atradās pēc pirmā \(c\), un tāpēc neviens no tās cipariem netika izsvītrots. Tāpēc pēc induktīvā pieņēmuma \(S-k-1 \geq \frac{k(k+1)}{2} \Rightarrow S \geq \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\).