Pierādīt, ka neeksistē tādi naturāli skaitļi \(n\) un \(m\), kuriem ir patiesa vienādība \((2n)^{2n}-1=m^{3}\).
Pieņemsim pretējo, ka tādi skaitļi \(m\) un \(n\) eksistē. \(m^{3}=(2n)^{2n}-1=\left((2n)^{n}-1\right)\left((2n)^{n}+1\right)\). Tā kā \((2n)^{n}-1\) un \((2n)^{n}+1\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tad
\[(2n)^{n}-1=a^{3},\ (2n)^{n}+1=b^{3}.\]
Iegūstam pretrunu: \(2=b^{3}-a^{3}=(b-a)\left(b^{2}+ab+a^{2}\right)\), jo \(b^{2}+ab+a^{2}>2\).