Atrast visus pirmskaitļus \(p\), kuriem skaitlis \(p^{p^{2}-5}+2\) arī ir pirmskaitlis.
Atbilde: \(p=3\).
Pārbaudām, ka \(p=2\) neder, bet \(p=3\) der. Ja \(p>3\), šķirosim gadījumus: 1) \(p=3k+1\) un 2) \(p=3k+2\).
1) Ja \(p=3k+1\), tad \(p^{n}\) katram \(n\) dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\), tātad \(p^{p^{2}-5}+2\) dalās ar \(3\). 2) Ja \(p>3\), tad \(p\) ir nepāra skaitlis un \(p^{2}-5\) ir pāra skaitlis. Tad \(p^{2m}=(3k+2)^{2m}=\left(9k^{2}+6k+3+1\right)^{m}=(3t+1)^{m}\) dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\). Tātad arī šajā gadījumā \(p^{p^{2}-5}+2\) dalās ar \(3\).
Tā kā \(p^{p^{2}-5}+2>3\) un dalās ar \(3\), tas nav pirmskaitlis.