Atrisinājums

Tā kā vajag izveidot divus trijstūrus bez kopīgām virsotnēm, tad būs vajadzīgi vismaz seši punkti. 6.zīm. parādīts piemērs ar \(6\) punktiem, no kuriem nevar izveidot divus platleņķa trijstūrus bez kopīgām virsotnēm. Punkts \(O\) ir riņķa līnijas centrs un punkti \(A,\ B,\ C,\ D,\ E\) atrodas uz riņķa līnijas, pie tam \(\sphericalangle AOE\) ir šaurs. Tā kā ir tikai seši punkti un jāizveido divi trijstūri, tad katram punktam jābūt kāda trijstūra virsotnei. Bet jebkurš no trijstūriem, kura viena virsotne ir \(O\), ir šaurleņķu. Tātad \(n \geq 7\).

Pierādīsim, ka ar septiņiem punktiem vienmēr pietiek.

Lemma 1. Ja izliekts četrstūris nav taisnstūris, tad kādas trīs no tā virsotnēm veido platleņķa trijstūri.

\(\underline{Pierādījums.}\) Izliekta četrstūra iekšējo leņķu summa ir \(360^{\circ}\), tātad, ja ne visi tā leņķi ir \(90^{\circ}\), tad kāds no leņķiem būs lielāks par \(90^{\circ}\) - šī virsotne un divas tās blakus virsotnes veido platleņķa trijstūri.

Lemma 2. Ja dots trijstūris \(ABC\) un punkts \(D\) tā iekšpusē, tad vismaz divi no trijstūriem \(ABD,\ BCD,\ CAD\) ir platleņķa.

\(\underline{Pierādījums.}\) Aplūkosim leņķus \(ADB,\ BDC,\ CDA\) (skat. 7.zīm.). Šo leņķu summa ir \(360^{\circ}\) un katrs no tiem ir mazāks nekā \(180^{\circ}\), tātad vismaz divi no šiem leņķiem ir lielāki par \(90^{\circ}\).

Apskatīsim divus gadījumus, kā dotie \(7\) punkti var būt izvietoti.

1) Tie veido izliektu septiņstūri, skat. 8.zīm.

Izliekta septiņstūra iekšējie leņķi ir mazāki par \(180^{\circ}\) un to summa ir \(180^{\circ} \cdot(7-2)\). Pieņemsim, ka šauro vai taisno leņķu skaits ir vismaz \(4\), tad šo četru leņķu summa nepārsniedz \(360^{\circ}\) un pārējo trīs leņķu summa ir mazāka par \(3 \cdot 180^{\circ}\), tātad visu septiņu leņķu summa ir mazāka par \(5 \cdot 180^{\circ}\) - pretruna. Tātad šauro vai taisno iekšējo leņķu skaits nav lielāks par \(3\).

Aplūkosim virsotņu pārus \((A,\ D),\ (D,\ G),\ (G,\ C),\ (C,\ F),\ (F,\ B),\ (B,\ E),\ (E,\ A)\). Tā kā no leņķiem ar virsotnēm punktos \(A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G\) ne vairāk kā trīs leņķi nav plati un katrs no leņķiem pāros parādās tieši divas reizes, tad kādā no pāriem būs divi plati leņķi. Šie divi punkti kopā ar blakus virsotnēm veido divus platleņķa trijstūrus bez kopīgiem punktiem.

2) Dotie septiņi punkti neveido izliektu septiņstūri.

Tātad varam izvēlēties četrus punktus un apzīmēt tos tā, ka \(A,\ B,\ C\) veido trijstūri un \(D\) atrodas tā iekšpusē; pārējos punktus apzīmēsim ar \(E,\ F,\ G\). No Lemmas \(2\) seko, ka vismaz divi no trijstūriem \(ABD,\ BCD,\ CAD\) ir platleņķa; varam pieņemt, ka tie ir \(\triangle ABD\) un \(\triangle BCD\). Ja punkti \(E,\ F,\ G,\ C\) neveido taisnstūri, tad no tiem var izveidot platleņķa trijstūri (saskaņā ar Lemmām \(1\) un \(2\)), un \(A,\ B,\ D\) veido otru platleņķa trijstūri. Ja \(E,\ F,\ G,\ C\) veido taisnstūri, tad \(E,\ F,\ G,\ A\) neveido taisnstūri (citādi \(A\) un \(C\) atrastos vienā punktā), un no tiem var izveidot platleņķa trijstūri, otru platleņķa trijstūri veido punkti \(B,\ C,\ D\).