Atrisinājums

Atbilde: no astoņām divu taisnstūru virsotnēm vienlaicīgi otram arī taisnstūrim var piederēt \(0, 2, 3\), \(4, 5, 6\) vai \(8\) virsotnes, skat., piem., 2.zīm.

Pierādījums. (A) Pierādīsim, ka otram taisnstūrim nevar piederēt tieši viena virsotne.

Pieņemsim pretējo, ka šāda (īpaša) virsotne tomēr atrodas- tā ir vienīgā no astoņām virsotnēm, kas vienlaicīgi pieder arī otram taisnstūrim. Šī virsotne nevar sakrist ar kādu no otra taisnstūra virsotnēm, jo tad arī otra taisnstūra virsotnei, ar kuru sakrīt īpašā virsotne, būtu spēkā šī īpašība, t.i., būtu vismaz divas virsotnes ar minēto īpašību. Tātad īpašā virsotne var atrasties tikai otra taisnstūra iekšpusē vai arī uz kādas no tā malām. 3.zīmējumā ir parādīta situācija, kad īpašā virsotne ir otra taisnstūra iekšpusē.

Aplūkosim, kur var atrasties tās divas virsotnes, kurām ar īpašo virsotni ir kopīga mala. Vienai virsotnei \((V_{x})\) jāatrodas uz tās pašas horizontāles, uz kuras atrodas īpašā virsotne. \(V_{x}\) nevar atrasties otra taisnstūra iekšpusē vai uz tā malas, jo tad arī \(V_{x}\) būtu ar meklēto īpašību. Citai virsotnei \((V_{y})\) jāatrodas uz tās pašas vertikāles, uz kuras atrodas īpašā virsotne. \(V_{y}\) nevar atrasties otra taisnstūra iekšpusē vai uz tā malas, jo tad arī \(V_{y}\) būtu ar minēto īpašību. Tātad gan \(V_{x}\), gan \(V_{y}\) atrodas ārpus otra taisnstūra. Bet tādā gadījumā pirmā taisnstūra (kura trīs virsotnes ir īpašā virsotne, \(V_{x}\) un \(V_{y}\) iekšpusē atrodas kāda no otrā taisnstūra virsotnēm.

Līdzīgi analizē gadījumu, kad \(īpašā\) virsotne atrodas uz otra taisnstūra kontūra.

Esam ieguvuši pretrunu, tātad nevar būt tieši viena virsotne, kas pieder arī otram taisnstūrim.

(B) Pierādīsim, ka otram taisnstūrim nevar piederēt tieši septiņas virsotnes.

Ieviesīsim koordinātu sistēmu un apskatīsim doto taisnstūru virsotņu koordinātes. Pieņemsim, ka viena taisnstūra \(ABCD\) virsotnes ir ar koordinātām \(A\left(x_{11}; y_{11}\right), B\left(x_{11}; y_{12}\right), C\left(x_{12}; y_{12}\right)\) un \(D\left(x_{12}; y_{11}\right)\); un ir spēkā sakarības \(x_{11} < x_{12}\) un \(y_{11} < y_{12}\), bet otra taisnstūra (\(KLMN\)) virsotnes ir ar koordinātām \(K\left(x_{21}; y_{21}\right), L\left(x_{21}; y_{22}\right), M\left(x_{22}; y_{22}\right)\) un \(N\left(x_{22}; y_{21}\right)\).

Pieņemsim pretējo- ir iespējams divus taisnstūrus novietot tā, ka tieši septiņas no astoņām virsotnēm vienlaikus pieder arī otram taisnstūrim. Šis apgalvojums ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka var novietot divus taisnstūrus tā, ka tieši viena no astoņām virsotnēm nepieder otram taisnstūrim. Varam pieņemt, ka šī vienīgā "nepiederošā" virsotne ir virsotne \(M\left(x_{22}; y_{22}\right)\).

Tātad virsotņu koordinātas vienlaicīgi saista šādas sakarības:

\(x_{11} \leq x_{21} \leq x_{12}\) un \(y_{11} \leq y_{21} \leq y_{12}\) (jo \(K \left(x_{21} ; y_{21}\right)\) pieder taisnstūrim \(ABCD\)) \(\tag{1}\)

\(x_{11} \leq x_{21} \leq x_{12}\) un \(y_{11} \leq y_{22} \leq y_{12}\) (jo L( \(x_{21}; y_{22}\) ) pieder taisnstūrim \(ABCD\)) \(\tag{2}\)

\(x_{11} \leq x_{22} \leq x_{12}\) un \(y_{11} \leq y_{21} \leq y_{12}\) (jo \(N\left(x_{22}; y_{21}\right)\) pieder taisnstūrim \(ABCD\)) \(\tag{3}\)

Bet no (2) un (3) nosacījumiem seko, ka vienlaicīgi

\(x_{11} \leq x_{22} \leq x_{12}\) un \(y_{11} \leq y_{22} \leq y_{12}\)

tātad arī virsotne \(M \left(x_{22}; y_{22}\right)\) pieder taisnstūrim \(ABCD\). Esam ieguvuši pretrunu, tātad pieņēmums, ka tieši viena virsotne nepieder otram taisnstūrim, ir aplams, tāpēc tieši septiņas no astoņām abu taisnstūru virsotnēm nevar vienlaikus piederēt arī otram taisnstūrim.