Vai iespējams, ka kvadrātvienādojuma \(x^{2}-a^{2}x+b^{2}=0\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi, saknes ir divu dažādu naturālu skaitļu kvadrāti?
Saskaņā ar Vjeta teorēmu \(x_{1}+x_{2}=a^{2}\) un \(x_{1}x_{2}=b^{2}\).
Pieņemsim, ka eksistē divi dažādi naturāli skaitļi \(y_{1}\) un \(y_{2}\), kuriem būtu spēkā \(x_{1}=y_{1}{ }^{2}\) un \(x_{2}=y_{2}{ }^{2}\). Tad \(b^{2}=y_{1}^{2}y_{2}^{2}=\left(y_{1}y_{2}\right)^{2}\), tātad \(b=y_{1}y_{2}\) ir naturāls skaitlis pie visām naturālām \(y_{1}\) un \(y_{2}\) vērtībām; \(y_{1}^{2}+y_{1}{ }^{2}=a^{2}\). Izvēloties, piem., \(y_{1}=3\) un \(y_{2}=4\), tātad \(a=5\), iegūstam vienādojumu \(x^{2}-5^{2}x+12^{2}=0\), kura saknes ir \(3^{2}\) un \(4^{2}\).