Doti \(n\) skaitļi \(-2 \leq x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \leq 2\), kuru summa ir \(0\). Pierādīt, ka
\[\left|x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\ldots+x_{n}^{3}\right| \leq 2 n\]
Varam apzīmēt \(x_{i}=2 \cos \alpha_{i}, i=1,2, \ldots, n\). Ievērojam, ka
\[\cos 3 \alpha=\cos 2 \alpha \cos \alpha-\sin 2 \alpha \sin \alpha=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alpha\]
no kurienes \(2 \cos 3 \alpha=8 \cos ^{3} \alpha-6 \cos \alpha\). Tāpēc \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\ldots+x_{n}^{3}=\left(2 \cos 3 \alpha_{1}+\ldots+2 \cos 3 \alpha_{n}\right)+6\left(\cos \alpha_{1}+\ldots+\cos \alpha_{n}\right)\). Tā kā otrā iekava ir \(0\), tad\[\left|x_{1}^{3}+\ldots+x_{n}^{3}\right| \leq\left|2 \cos 3 \alpha_{1}\right|+\ldots+\left|2 \cos 3 \alpha_{n}\right| \leq 2n\]
, k.b.j.