Mūzikas festivālā piedalās \(7\) mūziķi. Katru dienu uzstājas tieši \(4\) no viņiem. Kāds ir mazākais iespējamais dienu skaits festivālā, pēc kura katriem diviem mūziķiem būs tāda diena, kurā viņi abi ir uzstājušies?
Mazākais iespējamais dienu skaits festivālā ir \(5\).
Apzīmējam mūziķus ar \(1,2,3,4,5,6,7\), tad viens iespējams uzstāšanos grafiks, piemēram, ir:
\(1.\) diena: \(1,2,3,4\).
\(2.\) diena: \(1,5,6,7\).
\(3.\) diena: \(2,5,6,7\).
\(4.\) diena: \(3,5,6,7\).
\(5.\) diena: \(4,5,6,7\).
Pierādīsim, ka ar \(4\) dienām nepietiek. Ja festivālā ir \(4\) dienas, tad kopā ir \(4 \cdot 4=16\) uzstāšanās. Tas nozīmē, ka kāds mūziķis uzstājies ne vairāk kā \(2\) dienās. Pieņemsim, ka tas ir mūziķis \(1\). Lai \(1\) būtu uzstājies kopā ar katru citu mūziķi, nepieciešams, lai viņš vienā dienā muzicē kopā ar vieniem trīs mūziķiem (piemēram, \(2, 3\) un \(4\)) un otrā dienā- kopā ar trim pārējiem mūziķiem ( \(5, 6\) un \(7\)).
Ir vēl \(2\) dienas, kad uzstājušies \(2, 3, 4, 5, 6, 7\) (kaut kādās kombinācijās). Vismaz viens no viņiem ir uzstājies tikai vienā no šīm divām dienām. Pieņemsim, ka tas ir \(2\). Lai viņš būtu uzstājies kopā ar katru citu mūziķi, nepieciešams, lai vienā dienā muzicētu kopā, piemēram, \(2, 5, 6\) un \(7\).
Ja atlikušajā dienā neuzstājas kāds no mūziķiem \(3\) vai \(4\), tad viņš nebūs muzicējis kopā ar \(5, 6\) un \(7\). Savukārt, ja atlikušajā dienā uzstājas gan \(3\), gan \(4\), tad noteikti neuzstājas viens no mūziķiem \(5, 6, 7\), tad šis mūziķis nav uzstājies kopā ar \(3\) un \(4\). Tāpēc ar \(4\) dienām nepietiek.