Atrisinājums

Apzīmēsim \(b+c-a=2x\), \(a+c-b=2y\) un \(a+b-c=2z\), tātad \(a=y+z\), \(b=x+z\) un \(c=x+y\). Tā kā \(a, b, c\) ir trijstūra malu garumi, tad \(x, y, z\) ir pozitīvi skaitļi. Lietojot ieviestos apzīmējumus, doto nevienādību var pārrakstīt:

\[\begin{equation*} \frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\right) \geq 3 \tag{1} \end{equation*}\]

Ievērosim, ka patvaļīgiem pozitīviem skaitļiem \(x\) un \(y\) ir spēkā nevienādība \begin{equation*} \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2 \tag{*} \end{equation*}

\[\begin{equation*} \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2 \Rightarrow \frac{x^{2}+y^{2}}{xy} \geq 2 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2xy=(x-y)^{2} \geq 0 \tag{*} \end{equation*}\]

Pielietojot katrai iekavai pierādāmajā nevienādībā (1) nevienādību (*), iegūstam

\[\frac{1}{2}\left(\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\right) \geq \frac{1}{2}(2+2+2)=3\]

Nevienādība (1) ir patiesa, tātad patiesa ir arī dotā nevienādība.