LV.VOL.2009.12.3 lv
Dots, ka \(ABCD\) ir kvadrāts un \(E\) ir malas \(AB\) iekšējs punkts. Nogriežņi \(AC\) un \(DE\) krustojas punktā \(P\). Perpendikuls, kas no \(P\) vilkts pret \(DE\), krusto malu \(BC\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=AE+FC\).
Atrisinājums
Atliekam uz \(BC\) pagarinājuma \(CG=AE\). Tad \(\triangle DAE=\triangle DCG\), tāpēc \(\sphericalangle ADE=\sphericalangle CDG\); tātad \(\sphericalangle EDG=90^{\circ}\). Ap \(DPFC\) var apvilkt riņķa līniju \(\left(\sphericalangle P+\sphericalangle C=180^{\circ}\right)\), tāpēc \(\sphericalangle PDF=\sphericalangle PCF=45^{\circ}\). Tāpēc \(\sphericalangle FDG=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\). Iegūstam, ka \(\triangle EDF=\triangle GDF\) \((m \ell m)\), tātad \(EF=GF=GC+CF=AE+CF\), k.b.j.
