Atrisinājums

Ja \(X\) un \(Y\) ir attiecīgi \(\triangle ABD\) un \(\triangle ABC\) iecentri, tad \(\sphericalangle AYB=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\sphericalangle BAC+\sphericalangle \mathrm{ABC})=90^{\circ}+\frac{1}{2} \sphericalangle ACB\) un līdzīgi \(\sphericalangle AXB=90^{\circ}+\frac{1}{2} \sphericalangle ADB\). Tā kā \(\sphericalangle ACB=\sphericalangle ADB\), tad \(\sphericalangle AYB=\sphericalangle AXB\). Tātad punkti \(A,\ X,\ Y,\ B\) atrodas uz vienas riņķa līnijas, tātad \(\sphericalangle XYB=180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle DAB\). Ja \(Z\) ir \(\triangle BCD\) iecentrs, tad līdzīgi iegūstam \(\sphericalangle ZYB=180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle DCB\) Tāpēc \(\sphericalangle XYZ=360^{\circ}-\sphericalangle XYB-\sphericalangle ZYB=\frac{1}{2}(\sphericalangle DAB+\sphericalangle DCB)=\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ}=90^{\circ}\). Līdzīgi pierāda, ka arī citi vajadzīgie leņķi ir taisni.