Atrisinājums

Apskatīsim visas Andra izvēlēto skaitļu starpības, no lielāka skaitļa atņemot mazāku. Šādu starpību pavisam ir \(45\). Tā kā tās ir robežās no \(1\) līdz \(36\), starp tām ir divas vienādas. Pieņemsim, ka tās ir \(ab\) un \(c-d\), kur \(a>c\). Ja visi skaitļi \(a; b; c; d\) ir dažādi, tad no \(a-b=c-d\) seko \(a+d=b+c\), un Maija var izvēlēties \(a; b; c; d\). Atliek gadījums, kad \(b=c\). Analizēsim sīkāk apskatāmo \(45\) starpību sistēmu. Pastāv divas iespējas.

A. Starp tām ir \(3\) vienādas; varam pieņemt, ka \(a-b=c-d=e-f\), kur \(a>c>e\). Ja \(b \neq c\) vai \(d \neq e\), rīkojamies kā iepriekš. Ja būtu \(b=c\) un \(d=e\), tad nevar būt \(b=e\); tādā gadījumā iznāktu \(c=b=e=d\) un \(c-d=0\) pretruna. Tāpēc vajadzīgos skaitļus iegūstam no vienādības \(a-b=e-f \Leftrightarrow a+f=b+e\).

B. Starp \(45\) starpībām nav triju vienādu; tad ir \(9\) pāri vienādu starpību. Ja divi no šiem pāriem ir \(a-b=b-c\) un \(e-b=b-f\) (ar vienu un to pašu \(b\)), tad

\(a-e=f-c\), un mēs iegūstam \(a+c=e+f\). Ja katram vienādo starpību pārim ir cits \(b\), tad iznāk \(9\) dažādi \(b\), bet tas nevar būt, jo \(b\) nav ne mazākais, ne lielākais no Andra izvēlētajiem \(10\) skaitļiem.

Visas iespējas izanalizētas.