Atrisinājums

Tā kā \(3^{3}-3=24\), tad meklējamais \(d\) nevar būt lielāks par \(24\). Pierādīsim, ka visi apskatāmie skaitļi dalās ar \(24\); tad būs pierādīts, ka \(d=24\). Pie nepāra \(n=2k+1\ n^{n}-n=n\left(n^{2k}-1\right)=n\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2k-2}+\ldots+n^{2}+1\right)=(n-1)n(n+1) \cdot Q,\ Q\) - vesels skaitlis. Skaitļi \(n-1\) un \(n+1\) ir viens otram sekojoši pāra skaitļi; tāpēc to reizinājums dalās ar \(8\). Viens no skaitļiem \(n-1;\ n;\ n+1\); dalās ar \(3\). Tā kā \(LKD(3; 8)=1\), tad \((n-1)n(n+1)\) dalās ar \(24\).