Kādas vērtības var pieņemt izteiksme \(S=\frac{|x+y|}{|x|+|y|}+\frac{|x+z|}{|x|+|z|}+\frac{|y+z|}{|y|+|z|}\), ja \(x, y, z\) - no nulles atšķirīgi reāli skaitļi?
Tā kā \(|a+b| \leq |a|+|b|\), tad neviens saskaitāmais nepārsniedz \(1\), un \(S \leq 3\). Divi no skaitļiem \(x;\ y;\ z\) ir ar vienādu zīmi; attiecīgais saskaitāmais ir \(1\), tātad \(S \geqq 1\). Ja \(x=y=z=1\), tad \(S=3\); ja \(x=y=1,\ z=-1\), tad \(S=1\). Pieņemsim, ka \(1<a<3\). Viegli pārbaudīt, ka pie \(x=1\) un \(y=z=\frac{a-3}{a+1}\) iegūstam \(S=a\). Tātad \(S\) vērtību apgabals ir \([1; 3]\).