Atrisinājums

Risinām vienādojumu \(x^{2}+(x+1)^{2}=(x+a)^{2},\ a \geq 2,\ a \in N\).

Tas pārveidojas par \(x^{2}+(2-2a)x+\left(1-a^{2}\right)=0\), no kurienes \(x=a-1+\sqrt{2a(a-1)}>2(a-1)\).

Tā kā jābūt \(x \leq 200\), tad \(2 \leq a \leq 101\); bez tam \(2a(a-1)\) jābūt vesela skaitļa kvadrātam. Šķirojam divus gadījumus:

1) \(a\) - nepāra skaitlis. Tad skaitļiem \(a\) un \(2(a-1)\) nav kopīgu pirmreizinātāju (jo \(a\) un \(a-1\) nekad nav kopīgu pirmreizinātāju); tāpēc tiem abiem jābūt kvadrātiem. Kā kandidāti der tikai \(a=9;\ 25;\ 49;\ 81\). Pārbaude rāda, ka der tikai \(a=9\); tad \(\mathbf{x}=\mathbf{20}\) un \(\mathbf{y}=\mathbf{29}\). 2) \(a\) - pāra skaitlis. Tad skaitļiem \(2a\) un \(a-1\) nav kopīgu pirmreizinātāju; tāpēc gan \(2a\), gan \(a-1\) jābūt kvadrātam. Kā kandidāti der tikai \(a=2;\ 8;\ 18;\ 32;\ 50;\ 72;\ 98\). Pārbaude rāda, ka der tikai \(a=2\) un \(a=50\). Iegūstam \(\mathbf{x}=\mathbf{3};\ \mathbf{y=4}\) un \(\mathbf{x}=119;\ \mathbf{y}=169\).