Atrisinājums

Kvadrāts nebeidzas ar " \(2\) ", tātad \(n^{2}\) beidzas ar " \(1\) ". Ja priekšpēdējais cipars būtu \(1\), tad \(n^{2}=\ldots 11=\ldots 00+11\) dotu atlikumu \(3\), dalot ar \(4\); tā nevar būt, jo \((2k)^{2}=4 \cdot k^{2}\) un \((2k+1)^{2}=4 \cdot\left(k^{2}+k\right)+1\). Tāpēc priekšpēdējais cipars ir \(2\). Ja \(n^{2}=\underbrace{11 \ldots 121}_{nep.skaits}\), tad \(n^{2}\) dalās ar \(11\) saskaņā ar dalāmības pazīmi. Ja \(n^{2}=\underbrace{11 \ldots 121}_{pāra\ skaits}\), tad \(n^{2}\), dalot ar \(11\), dod tādu pašu atlikumu kā \(1-2+(1-1+1-1+\ldots+1-1)\), t.i., atlikumu \(10\). Bet tas nevar būt:

\[\begin{array}{ll} (11k)^{2}=121 \mathrm{k}^{2} & \text {atl.} 0 \\ (11k \mp 1)^{2}=121k^{2} \mp 22k+1 & \text {atl.} 1 \\ (11k \mp 2)^{2}=121k^{2} \mp 44k+4 & \text {atl.} 4 \\ (11k \mp 3)^{2}=121k^{2} \mp 66k+9 & \text {atl.} 9 \\ (11k \mp 4)^{2}=121k^{2} \mp 88k+16 & \text {atl.} 5 \\ (11k \mp 5)^{2}=121k^{2} \mp 110k+25 & \text {atl.} 3 \end{array}\]