Atrisinājums

Apzīmējam \(a_{n}=|\ldots||| x-1|-10|-10^{2}\left|-\ldots-10^{n-1}\right|-10^{n}\). Tad \(a_{2007}=\mp 10^{2008}\). No \(a_{2007}=\left|a_{2006}\right|-10^{2007}\) seko, ka \(\left|a_{2006}\right|=\mp 10^{2008}+10^{2007}\). Tā kā \(-10^{2008}+10^{2007}<0\), tad \(\left|a_{2006}\right|=10^{2008}+10^{2007}\) un \(a_{2006}=\mp\left(10^{2007}+10^{2008}\right)\). Līdzīgi turpinot (precīzs pierādījums ar indukciju), iegūstam, ka \(|x-1|=10^{1}+10^{2}+\ldots+10^{2008}\), no kurienes \(x_{1}=\underbrace{11 \ldots 1}_{2009}\) un \(x_{2}=\underbrace{-11 \ldots 109}_{2007}\).