Ja \(x\) un \(y\) - naturāli skaitļi (vanbūt vienādi), tad ar \([x, y]\) apzīmējam to mazāko kopīgo dalāmo. Kādus naturālus skaitļus \(n\) var izteikt formā \(n=[x, y]+[y, z]+[z, x]\)?
(A) skaidrs, ka skaitli \(1\) prasītajā veidā izteikt nevar, jo izteiksmes vērtība nav mazāka par \(3\).
(B) ņemot \(x=k,\ y=1,\ z=1\), iegūstam \([x, y]+[y, z]+[z, x]=k+1+k=2k+1, \quad k \in N\).
Tātad var izteikt visus nepāra skaitļus, kas lielāki par \(1\).
(C) ja \(n=[x, y]+[y, z]+[z, x]\), tad \([2x, 2y]+[2y, 2z]+[2z, 2x]=2([x, y]+[y, z]+[z, x])=2n\).
Tātad, ja var izteikt skaitli \(n\), tad var izteikt arī skaitli \(2n\). No šejienes un no (B) seko: var izteikt visus pāra skaitļus, kas nav divnieka pakāpes.
(D) pierādīsim, ka divnieka pakāpes \(2^{k}, k \in N\), tā izsacīt nevar. Tas ir acīmredzami pie \(k=1\) (skat. (A) punktu). Pieņemsim, ka \(k \geq 2\), un no pretējā pieņemsim, ka \(2^{k}=[2^{a} \cdot x_{1}, 2^{b} \cdot y_{1}]+[2^{b} \cdot y_{1}, 2^{c} \cdot z_{1}]+[2^{c} \cdot z_{1}, 2^{a} \cdot x_{1}]\), kur \(a \geq b \geq c, x_{1}, y_{1}, z_{1}\) - nepāra skaitļi. Skaidrs, ka \(k>a\) un \(k>b\). Tad \(2^{k}=2^{a}\left[x_{1}, y_{1}\right]+2^{b}\left[y_{1}, z_{1}\right]+2^{a}\left[z_{1}, x_{1}\right]\) un \(2^{k-b}=2^{a-b}\left[x_{1}, y_{1}\right]+\left[y_{1}, z_{1}\right]+2^{a-b}\left[z_{1}, x_{1}\right]\). Tā ir pretruna, jo kreisajā vienādības pusē ir pāra skaitlis, bet labajā - nepāra.