LV.VOL.2007.9.5 lv
(A) Vai var 1.zīm. parādītās tabulas rūtiņās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai izpildītos īpašība: ja rinda un kolonna apzīmētas ar vienādiem burtiem, tad tajās ierakstīto skaitļu reizinājumi ir vienādi?
(B) Vai var 2.zīm. parādītās tabulas rūtiņās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(81\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai izpildītos tāda pati īpašība?
Atrisinājums
(A) jā, skat., piem., 3.zīm.
(B) nē. Apskatīsim pirmskaitļus \(41;\ 43;\ 47;\ 53;\ 59;\ 61;\ 67;\ 71;\ 73;\ 79\). Tā kā tie visi lielāki par \(\frac{1}{2} \cdot 81\), tad neviens cits ierakstāmais skaitlis ne ar vienu no tiem nedalās. Tāpēc šiem skaitļiem jābūt uz diagonāles (ja kāds pirmskaitlis sastopams rindiņas elementu reizinājumā, tad aritmētikas pamatteorēmas dēļ tam jābūt sastopamam arī atbilstošās kolonnas elementu reizinājumā). Bet šo pirmskaitļu pavisam ir \(10\), un tie jāizvieto \(9\) vietās - pretruna.