Atrisinājums

Atbilde: \(0;\ 4;\ 6;\ 8;\ 10;\ \ldots;\ 38;\ 40;\ 42\).

Risinājums. Tā kā katrā rindā ir pāra skaits melno rūtiņu, tad (A) tas nepārsniedz \(6\), un tādēļ kopējais melno rūtiņu skaits nepārsniedz \(6 \cdot 7=42\), (B) kopējais melno rūtiņu skaits ir pāra skaitlis. Viegli saprast, ka \(0\) melno rūtiņu var būt, bet \(2\) melnas rūtiņas - nē (tas tomēr skolēna darbā jāpaskaidro!). Atliek parādīt, kā iegūt \(4;\ 6;\ 8;\ \ldots;\ 40;\ 42\) melnas rūtiņas. Mēs to panāksim, izvietojot melnās rūtiņas divu veidu blokos: kvadrātos ar izmēriem \(2k \times 2k\) rūtiņas, kur katra rūtiņa ir melna, un kvadrātos ar izmēriem \((2k+1) \times(2k+1)\) rūtiņas, kur melnas ir visas rūtiņas, izņemot vienu diagonāli.

1) Vērtības \(4;\ 8;\ 12;\ \ldots;\ 32;\ 36\) tiek iegūtas, izmantojot \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 9\) kvadrātus ar izmēriem \(2 \times 2\). 2) Vērtība \(6\) tiek iegūta, izmantojot kvadrātu \(3 \times 3\) (ievietojam to lielā kvadrāta stūrī); vērtības \(10;\ 14;\ 18;\ \ldots;\ 38\) tiek iegūtas, pievienojot tam \(1; 2; 3; \ldots; 8\) kvadrātus ar izmēriem \(2 \times 2\) (skat. 2.zīm.). 3) Vērtība \(40\) tiek iegūta ar vienu \(5 \times 5\) rūtiņu kvadrātu un pieciem \(2 \times 2\) rūtiņu kvadrātiem. 4) Vērtība \(42\) tiek iegūta, izmantojot visu \(7 \times 7\) rūtiņu kvadrātu.