Atrisinājums

Ja \((x; y)\) ir sistēmas atrisinājums, tad atrisinājumi ir arī \((-x;y),\ (x;-y),\ (-x;-y)\); tāpēc meklēsim atrisinājumu pie \(x \geq 0, y \geq 0\). Ja \((x; y)\) ir sistēmas atrisinājums, tad atrisinājums ir arī \((y; x)\); tāpēc meklēsim atrisinājumu pie \(x \leq y\).

Saskaitot abus vienādojumus, iegūstam

\[\begin{equation*} x^{2}+y^{2}=2 \tag{1} \end{equation*}\]

Atņemot abus vienādojumus, pēc pārveidojumiem iegūstam

\[\begin{equation*} 2 \sin ^{2} x-2 \sin ^{2} y=y^{2}-x^{2} \tag{2} \end{equation*}\]

No (1) seko, ka \(0 \leq x \leq y \leq \sqrt{2}<\frac{\pi}{2}\). Tā kā šajā apgabalā funkcijas \(f(t)=\sin ^{2} t\) un \(g(t)=t^{2}\) abas ir augošas, tad \(\sin ^{2} x \leq \sin ^{2} y\) un \(y^{2} \geq x^{2}\); tāpēc no (2) seko, ka \(x=y\). No (1) iegūstam \(x=y=1\). Pārbaude parāda, ka tas tiešām ir sistēmas atrisinājums. Tātad sistēmai ir \(4\) atrisinājumi \((x;y):\ (1;1),\ (1 ;-1),\ (-1 ; 1),\ (-1 ;-1)\).