Atrisinājums

Ja \(x\) - kopējā sakne, tad \(x^{2}+a^{2}x+b^{3}=x^{2}+b^{2}x+a^{3}\), no kurienes \(\left(a^{2}-b^{2}\right) \cdot x=a^{3}-b^{3}\). Ja \(a \neq b\), tad \(x=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a+b}=\frac{\left(a+\frac{b}{2}\right)^{2}+\frac{3b^{2}}{4}}{a+b}>0\). Bet skaidrs, ka dotajiem vienādojumiem nav pozitīvu sakņu.

Ja turpretī \(a=b\), tad abi vienādojumi ir identiski viens otram. Vienādojumam \(x^{2}+a^{2}x+a^{3}=0\) ir reāla sakne tad un tikai tad, ja \(a^{4}-4a^{3} \geq 0 \Leftrightarrow a^{3}(a-4) \geq 0\). Tā kā \(a \geq 0\), tad tas ir gadījumos, ja \(\mathbf{a=b=0}\) vai \(\mathbf{a=b \geq 4}\).