LV.VOL.2006.9.3 lv
Trijstūra \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas centrs ir \(I\). Uz taisnes \(AB\) atrasti tādi divi dažādi punkti \(C_{1}\) un \(C_{2}\), ka \(IC_{1}=IC_{2}=IC\); uz taisnes \(AC\) atrasti tādi divi dažādi punkti \(B_{1}\) un \(B_{2}\), ka \(IB_{1}=IB_{2}=IB\); uz taisnes \(BC\) atrasti tādi divi dažādi punkti \(A_{1}\) un \(A_{2}\), ka \(IA_{1}=IA_{2}=IA\).
Pierādīt, ka \(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=AB+BC+CA\).
Atrisinājums
Apzīmējam ievilktās riņķa līnijas pieskaršanās punktus \(\triangle ABC\) malām ar \(X;\ Y;\ Z\) (skat. 1.zīm.) Taisnleņķa trijstūri \(AXI,\ AZI,\ A_{1}YI\) un \(A_{2}YI\) ir vienādi savā starpā \((hk)\), tāpēc \(A_{1}A_{2}=AX+AZ\). Līdzīgi \(B_{1}B_{2}=BX+BY\) un \(C_{1}C_{2}=CY+CZ\). Saskaitot šīs vienādības, iegūstam vajadzīgo.
