Atrisinājums

Apskatīsim vispirms izliekta daudzskaldņa gadījumu.

Sākam iet no patvaļīgas virsotnes bultiņu virzienos pa šķautnēm. Tas ir iespējams, jo no katras virsotnes iziet kāda šķautne. Tā kā virsotņu ir galīgs skaits, tad kādreiz mēs atgriezīsimies virsotnē, kurā jau esam bijuši. Šai brīdī būs izveidojies cikls, kas apejams bultiņu virzienos (skat. 7.zīm.) Šis cikls sadala daudzskaldņa virsmu divās daļās. Apskatām \(D\) - vienu no tām. Ja tajā iekšpusē nav ne citu virsotņu, ne citu šķautņu, tad tā ir skaldne, kāda mums nepieciešama. Pieņemsim, ka šīs daļas \(D\) iekšpusē atrodas virsotne \(V\) (skat. 8.zīm.)

Sākam iet no virsotnes \(V\) pa šķautnēm bultiņu virzienos, kamēr

(A) vai nu nonākam uz jau esošā kontūra,

(B) vai arī mūsu jaunveidojamais ceļš izveido ciklu (kā iepriekš).

Otrajā gadījumā atrastais cikls ierobežo mazāku daļu nekā \(D\). Pirmajā gadījumā (skat. 8.zīm.) sākam iet no virsotnes \(V\) pa šķautnēm pretēji bultiņu virzieniem, kamēr nonākam kādā virsotnē, kas jau redzama 9.zīm.

Ja turpretī \(D\) iekšpusē nav citu virsotņu, bet ir šķautne, tad apskatām šo šķautni kopā ar katru no \(D\) kontūra daļām, kurās šī šķautne sadala \(D\) kontūru.

Katrā gadījumā izveidosies daļa, kas mazāka par \(D\) un apejama pa kontūru bultiņu virzienos.

Ar šo daļu rīkojamies tāpat kā iepriekš ar daļu \(D\) utt. Tā kā nevaram atrast bezgalīgi daudzas arvien mazākas daļas, kuras norobežo pa šķautnēm ejošas kontūras, tad kādreiz iegūsim daļu, kas apejama pa kontūru bultiņu virzienā un kuras iekšpusē nav ne citu virsotņu, ne citu šķautņu, t.i., iegūsim mums vajadzīgo skaldni.

Piezīme. Viegli pamanīt, ka šādas skaldnes ir vismaz divas (pa vienai katrā no tām daļām, kurās daudzskaldņa virsmu sadala pirmais atrastais cikls).

Ieliekta daudzskaldņa gadījumā šādu skaldni varbūt arī nevar atrast. Piemērs redzams 10.zīm. (Daudzskaldnis ir kubs ar prizmveidīgu "caurumu".)

Piezīme. Spriedumu, kas derīgs izliektam daudzskaldnim, šoreiz nevar atkārtot, jo sākotnējais (un arī katrs nākošais) cikls var nesadalīt virsmu divās daļās, un tāpēc nav pamata apgalvot, ka katrs nākošais atrastais cikls ierobežo mazāku apgabalu nekā iepriekšējais, tāpēc mūsu aprakstītais meklēšanas process var nekad nebeigties.