Atrisinājums

Vispirms pierādīsim, ka \(n+1;\ n+2;\ n+3\) ir kaut kādu pirmskaitļu pakāpes ar naturāliem kāpinātājiem. Pretējā gadījumā kāds no šiem skaitļiem būtu izsakāms kā reizinājums \(a \cdot b\), kur \(a \geq 2,\ b \geq 2,\ LKD(a,\ b)=1\). Tā kā \(m\) nedalās ar \(a \cdot b\), tad vai nu \(m\) nedalās ar \(a\), vai arī \(m\) nedalās ar \(b\); pieņemsim, ka \(m\) nedalās ar \(a\). Tad \(a \geq n+1\). Tā kā \(a \cdot b \leq n+3\), tad \(a \cdot b-a \leq 2\) jeb \(a(b-1) \leq 2\). Tas iespējams tikai, ja \(a=2\) un \(b=2\); tad \(a \cdot b=4\). Ja \(n+1=4\), tad \(n=3\); ja \(n+2=4\), tad \(n=2\); ja \(n+3=4\), tad \(n=1\). Vērtība \(n=3\) neapmierina uzdevuma nosacījumus (ja \(m\) dalās ar \(2\) un ar \(3\), tad \(m\) dalās arī ar \(6\)); pie \(n=1\) un \(n=2\) visi skaitļi \(n+1;\ n+2;\ n+3\) ir pirmskaitļu pakāpes.

Tātad \(n+1;\ n+2;\ n+3\) ir pirmskaitļu pakāpes.

Vismaz viens no šiem skaitļiem ir pāra skaitlis, tātad ir \(2^{x}\); tieši viens dalās ar \(3\), tātad ir \(3^{y}\). Tāpēc \(2^{x}=3^{y} \pm 1\). Šķirojam abus gadījumus:

(A) \(2^{x}=3^{y}+1\). Tā kā \(2^{2t+1}=2 \cdot 4^{t}=2 \cdot(3+1)^{t}\), tad pie nepāra \(x\) pakāpe \(2^{x}\) dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\); tāpēc \(x\) ir pāra skaitlis, \(x=2z\). Iegūstam \(2^{2z}-1=3^{y}\) un \(\left(2^{z}-1\right)\left(2^{z}+1\right)=3^{y}\). Tātad \(2^{z}-1\) un \(2^{z}+1\) ir trijnieka pakāpes vai \(1\); tās savā starpā atšķiras par \(2\), tāpēc ir \(1\) un \(3\). Tāpēc \(z=1,\ x=2\) un mūsu apskatāmā divnieka pakāpe ir \(4\).

Ja \(n+1=4\), tad \(n=3\); jau iepriekš redzējām, ka tas neder. Ja \(n+2=4\), tad \(\mathbf{n=2}\); varam ņemt \(m=2\). Ja \(n+3=4\), tad \(\mathbf{n=1}\); varam ņemt \(m=1\).

(B) \(2^{x}=3^{y}-1\). Pie \(x=1\) nonākam pie \(n=1\); pieņemam, ka \(x \geq 2\). Ja \(y\) - nepāra skaitlis, tad \(y=2t+1\) un \(3^{y}-1=3^{2t+1}-1=3 \cdot 9^{t}-1=3 \cdot(8+1)^{t}-1\) dalās ar \(2\), bet nedalās ar \(4\); tā nevar būt. Tāpēc \(y=2z\) un \(2^{x}=\left(3^{z}-1\right)\left(3^{z}+1\right)\). Tāpēc skaitļi \(3^{z}-1\) un \(3^{z}+1\) ir divnieka pakāpes vai \(1\), kas savā starpā atšķiras par \(2\); tie var būt tikai \(2\) un \(4\). Tad \(2^{x}=8\). Ja \(n+1=8\), tad \(n=7\); tā kā \(n+3=10\) nav pirmskaitļa pakāpe, šī atbilde neder. Ja \(n+2=8\), tad \(\mathbf{n=6}\); var ņemt \(m=60\). Ja \(n+3=8\), tad \(n=5\); tā kā \(n+1=6\) nav pirmskaitļa pakāpe, šī atbilde neder.

Atbilde: \(n=1;\ n=2;\ n=6\).