Atrisinājums

Vispirms atzīmēsim, ka naturāliem \(x\) un \(y\) pastāv nevienādība \(xy+1 \geq x+y\); tiešām, tā ir ekvivalenta ar \((x-1)(y-1) \geq 0\), kas ir patiesība. Lai izpildītos \((x+y)(xy+1)=2^{2}\), jābūt \(x+y=2^{a},\ xy+1=2^{b}\), kur \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi; saskaņā ar iepriekšējo \(b \geq a\). No tā, ka \(xy+1\) dalās ar \(2^{a}\) un \(x+y\) dalās ar \(2^{a}\), seko, ka arī \(x(x+y)\) dalās ar \(2^{a};\left(x^{2}+xy\right)-(xy+1)\) dalās ar \(2^{a}\); \(x^{2}-1\) dalās ar \(2^{a};\ (x+1)(x-1)\) dalās ar \(2^{a}\)

Ievērosim, ka \(LKD(x+1;\ x-1)\) ir vai nu \(1\), vai \(2\). Tāpēc vai nu viens no skaitļiem \(x+1\) un \(x-1\) dalās ar \(2^{a}\), vai arī viens no tiem dalās ar \(2^{a-1}\), bet otrs ar \(2\). Jebkurā gadījumā viens no skaitļiem \(x+1\) un \(x-1\) dalās ar \(2^{a-1}\). Tā kā no nosacījuma \(x+y=2^{a}\) seko, ka \(1 \leq x \leq 2^{a}-1\), tad \(x\) var būt tikai šādas vērtības: \(x_{1}=1;\ x_{2}=2^{a-1}-1;\ x_{3}=2^{a-1}+1;\ x_{4}=2^{a}-1\), kur \(a\) - naturāls skaitlis \(\left(x=2^{a-1}-1\right.\) der tikai pie \(a \geq 2\)). Atbilstošās \(y\) vērtības iegūst kā \(y=2^{a}-x\), un \(y_{1}=2^{a}-1\); \(y_{2}=2^{a-1}+1;\ y_{3}=2^{a-1}-1;\ y_{4}=1\) (vērtība \(y_{3}\) un tātad arī \(x_{3}\) der tikai pie \(a \geq 2\)). Apkopojot redzam, ka varbūt der \((x; y)=\left(1;\ 2^{a}-1\right);\ (x; y)=\left(2^{a}-1;\ 2^{a}+1\right);\ (x; y)=\left(2^{a}+1;\ 2^{a}-1\right);\) \((x; y)=\left(2^{a}-1;\ 1\right),\ a\) - naturāls. Pārbaude parāda, ka šīs vērtības tiešām der; \(z=2a\) vai \(z=3a+1\).

]