Reālu skaitļu virknē \((a_{n})\), \(n=1;\ 2;\ 3;\ \ldots\), pirmo locekli \(a_{1}\) izvēlas patvaļīgi, bet katru nākošo aprēķina pēc formulas \(a_{n+1}=a_{n}\left(a_{n}+2\right)\), \(n=1;\ 2;\ 3;\ \ldots\). Kādas vērtības var pieņemt \(a_{2006}\)?
Pieskaitot abām dotās vienādības pusēm \(1\), iegūstam \(a_{n+1}+1=\left(a_{n}+1\right)^{2}\). Tāpēc \(a_{2006}+1=\left(a_{1}+1\right)^{2^{2005}}\). Tāpēc \(a_{2006}+1 \geq 0\) un \(a_{2006} \geq-1\). No otras puses, ja \(\alpha \geq-1\), tad, izvēloties \(a_{1}=\sqrt[22^{2005}]{\alpha+1}-1\), iegūsim \(a_{2006}=\alpha\). Tāpēc \(a_{2006}\) iespējamo vērtību kopa ir \([-1; \infty)\).