Pierādīt, ka \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2006}}>21,8\)
Ievērojam, ka
\[\begin{aligned} & S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2005}}+\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2006}}= \\ & =(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\ldots+(\sqrt{2005}-\sqrt{2004})+(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})= \end{aligned}\]
\(=\sqrt{2006}-1 \geq 43,7\). Tā kā **šajā** summā katrs nākošais saskaitāmais mazāks par iepriekšējo, tad uzdevuma formulējumā minēto saskaitāmo summa ir lielāka par \(\frac{1}{2} S\), tātad lielāka par \(21,85\).