Dots, ka \(B\) - naturāls skaitlis, \(A=7 \cdot B\) un \(A\) ciparu summa divas reizes lielāka par \(B\) ciparu summu. Skaitli \(C\) iegūst, pierakstot skaitlim \(A\) galā skaitli \(B\).
(A) atrast kaut vienu šādu \(C\),
(B) pierādīt, ka šādu \(C\) ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādīt, ka katrs šāds \(C\) dalās ar \(9\),
(D) vai \(C\) noteikti dalās ar \(27\)?
(A) \(B=27,\ A=7 \cdot 27=189,\ C=18927\).
(B) Var ņemt \(B=\underbrace{270027002700 \ldots 270027}_{n\ reizes\ 27}\).
(C) Apzīmēsim patvaļīga naturāla skaitļa \(X\) ciparu summu ar \(S(X)\). Tā kā \(A=\underbrace{B+B+B}_{7\ reies}\), tad, reizinot skaitli \(B\) ar \(7\), rodas pārnesumi (citādi būtu \(S(A)=7 \cdot S(B)\) ). Tāpēc \(2 \cdot S(B)=S(A)=7 \cdot S(B)-9 \cdot k\) (\(k\) - pārnesumu skaits). Iegūstam \(5 \cdot S(B)=9 \cdot k\), tātad \(S(B)\) dalās ar \(9\). Tāpēc \(S(C)=S(A)+S(B)=2S(B)+S(B)=3S(B)\) arī dalās ar \(9\); tāpēc \(C\) dalās ar \(9\).
(D) nē. Piemēram, var ņemt \(B=117,\ A=819,\ C=819117\).