Pa riņķa līniju izrakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Katriem diviem blakus uzrakstītiem skaitļiem atrodam to starpības absolūto vērtību. Atrast šo absolūto vērtību summas mazāko un lielāko iespējamo vērtību.
(A) Kaut kur uz riņķa līnijas ir \(1\), kaut kur \(n\). Apskatām vienu no lokiem, kas "savieno" šos skaitļus. Ja uz tā atrodas vēl skaitļi \(x_{1}; x_{2}; \ldots; x_{k}\), tad summa uz šī loka ir
\[\left|x_{1}-1\right|+\left|x_{2}-x_{1}\right|+\ldots+\left|n-x_{k}\right| \geq |x_{1}-1+x_{2}-x_{1}+\ldots+n-x_{k}|=n-1.\]
Līdzīgi spriežam par otru loku. Tātad visa apskatāmā summa nav mazāka par \(2(n-1)\). Summu \(2(n-1)\) iegūstam, izrakstot skaitļus pa riņķa līniju pēc kārtas. **(B)** ja pēc kārtas uzrakstītie skaitļi ir \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\), tad apskatāmā summa ir\[S=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|x_{2}-x_{3}\right|+\ldots+\left|x_{n-1}-x_{n}\right|+\left|x_{n}-x_{1}\right|\]
Tā kā \(|a|= \pm a\), tad \(S\) sastāv no \(2n\) saskaitāmajiem, no kuriem \(n\) ir ar " \(+\) " zīmi un \(n\) ar " \(-\) " zīmi. Ja \(n\) - pāra skaitlis, tad \(S\) būs vislielākā, ja tā saturēs \(\frac{n}{2}+1;\ \frac{n}{2}+2;\ \ldots;\ n\) katru divas reizes ar " \(+\) " zīmi, bet \(1;\ 2;\ \ldots;\ \frac{n}{2}\) katru divas reizes ar " \(-\) " zīmi. Tad summa būtu \(\frac{n^{2}}{2}\). Šādu summu var sasniegt, izrakstot skaitļus secībā \(1;\ n;\ 2;\ n-1;\ \ldots;\ \frac{n}{2};\ \frac{n}{2}+1\). Ja \(n\) - nepāra skaitlis, tad \(S\) būs vislielākā, ja \(n;\ n-1;\ n-2;\ \ldots;\ \frac{n+3}{2}\) katrs būs divas reizes ar " \(+\) " zīmi, \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ \frac{n-1}{2}\) katrs būs divas reizes ar " \(-\) " zīmi, bet \(\frac{n+1}{2}\) būs vienu reizi ar " \(+\) " zīmi, bet otru reizi ar " \(-\) " zīmi. Tad summa būtu \(\frac{n^{2}-1}{2}\). Šādu summu var sasniegt, izvēloties secību \(1;\ n;\ 2;\ n-1;\ \ldots;\ \frac{n+3}{2};\ \frac{n+1}{2}\).