Kādām \(a\) vērtībām vienādojumam
\[4^{x}-\left(a^{2}+3a-2\right) \cdot 2^{x}+3a^{3}-2a^{2}=0\]
ir viens vienīgs atrisinājums reālos skaitļos?
Apzīmējam \(2^{x}=y\) un iegūstam
\[y^{2}-\left(a^{2}+3a-2\right)y+3a^{3}-2a^{2}=0,\ y>0.\]
Vienādojumu tālāk pārveido par \(\left(y-a^{2}\right)(y-3a+2)=0\). Pie \(a=0\) pozitīvu sakņu nav. Pie \(a \neq 0\) ir pozitīva sakne \(y_{1}=a^{2}\). Otrā sakne \(y_{2}=3a-2\). Mūs apmierina nosacījumi \(y_{2} \leq 0\) vai \(y_{2}=y_{1}\). Iegūstam, ka meklējamās \(a\) vērtības ir \((-\infty; 0) \cup\left(0; \frac{2}{3}\right) \cup{1; 2}\).