LV.VOL.2005.10.4 lv
Uz riņķa līnijas \(w\) ar centru \(O\) izvēlēti divi punkti \(A\) un \(B\) tā, ka \(AB\) nav diametrs. Uz trijstūrim \(OAB\) apvilktās riņķa līnijas izvēlēts punkts \(C\), kas nesakrīt ne ar \(A\), ne ar \(B\). Taisne \(AC\) krusto \(w\) punktos \(A\) un \(D\). Pierādiet, ka \(DCB\) ir vienādsānu trijstūris.
Atrisinājums
Šķirojam divus gadījumus atkarībā no tā, vai \(C\) un \(O\) pieder vienam un tam pašam vai dažādiem \(\triangle AOB\) apvilktās riņķa līnijas lokiem.
\(\sphericalangle AOB=\sphericalangle ACB=\sphericalangle CDB+\sphericalangle DBC\) (ārējs leņķis). Bet \(\sphericalangle CDB=\frac{1}{2} \sphericalangle AOB=\frac{1}{2} \sphericalangle ACB\), tāpēc arī \(\sphericalangle DBC=\frac{1}{2} \sphericalangle ACB\). No tā seko \(CD=CB\).
Tagad \(\sphericalangle BDA=180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle AOB=\sphericalangle DBC+\sphericalangle BCD\). Bet \(\sphericalangle BCD=180^{\circ}-\sphericalangle AOB\), tāpēc \(180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle AOB=180^{\circ}-\sphericalangle AOB+\sphericalangle DBC\), no kurienes \(\sphericalangle DBC=\frac{1}{2} \sphericalangle AOB\). Savukārt \(\sphericalangle BDC=180^{\circ}-\sphericalangle BDA=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-\frac{1}{2} \sphericalangle AOB\right)=\frac{1}{2} \sphericalangle AOB\). Tātad \(\sphericalangle DBC=\sphericalangle BDC\) un \(CB=CD\).