Jānītis grib uzrakstīt \(n\) dažādus naturālus skaitļus tā, lai nekādu sešu uzrakstīto skaitļu summa nedalītos ar \(6\).
Vai tas ir iespējams, ja (A) \(n=10\), (B) \(n=11\)?
(A) jā; var uzrakstīt piecus skaitļus, kas dalās ar \(6\), un piecus skaitļus, kas dod atlikumu \(1\), dalot ar \(6\).
(B) nē. Varam starp \(11\) skaitļiem atrast divus skaitļus ar vienādu paritāti; to summa dalās ar \(2\). Līdzīgi turpinot, varam atrast \(5\) dažādu skaitļu pārus, katram no kuriem summa dalās ar \(2\). Apskatām šīs \(5\) summas un aprēķinām to atlikumus, dalot ar \(3\). Ja sastopami visi atlikumi \(0;\ 1;\ 2\), tad atbilstošo skaitļu summa dalās ar \(3\). Ja kāds atlikums nav sastopams, tad kāds no atlikumiem sastopams vismaz \(3\) reizes; atkal atbilstošo skaitļu summa dalās ar \(3\).
Atliek ievērot, ka summa, kas dalās gan ar \(2\), gan ar \(3\), dalās ar \(6\).