Uz tāfeles uzrakstīti \(n\) dažādi reāli skaitļi. Ir zināms: katriem diviem dažādiem uzrakstītiem skaitļiem \(x\) un \(y\) var atrast trešo uzrakstīto skaitli \(z\) tā, ka \(x,\ y,\ z\) veido aritmētisku progresiju (varbūt citā secībā). Kāda ir lielākā iespējamā \(n\) vērtība?
Piemērs \(0;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6\) parāda, ka var būt \(n=5\). Pierādīsim, ka \(n \geq 6\) nav iespējams.
Apskatāmās skaitļu kopas īpašības saglabājas, ja tiem visiem pieskaita vienu un to pašu konstanti vai visus reizina ar vienu un to pašu nenulles skaitli. Tāpēc varam pieņemt, ka mazākais skaitlis ir \(0\), bet lielākais \(1\). Tad viens no skaitļiem noteikti ir \(\frac{1}{2}\). Apzīmēsim ar \(A\) to uzrakstīto skaitļu kopu, kas ir starp \(\frac{1}{2}\) un \(1\). Pieņemsim no pretējā, ka \(A\) satur kādu skaitli, kas atšķiras no \(\frac{2}{3}\). Apzīmēsim ar \(a\) to no šādiem \(A\) elementiem, kas ir vistuvākais skaitlim \(\frac{2}{3}\).
Tā kā \(a>\frac{1}{2}\), tad no skaitļiem \(0\) un \(a\) iegūstam, ka jābūt uzrakstītam arī \(\frac{a}{2}\), un \(\frac{a}{2}<\frac{1}{2}\). No skaitļiem \(\frac{a}{2}\) un \(1\) iegūstam, ka jābūt uzrakstītam arī \(b=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{2}+1\right)=\frac{a+2}{4}\). Ievērojam, ka \(b>\frac{1}{2}\) un \(\left|b-\frac{2}{3}\right|=\left|\frac{a+2}{4}-\frac{2}{3}\right|=\frac{1}{4}\left|a-\frac{2}{3}\right|\), kas ir pretrunā ar \(a\) izvēli. Tātad kopa \(A\) satur augstākais vienu skaitli. Līdzīgi pierāda, ka uzrakstīts augstākais viens skaitlis starp \(0\) un \(\frac{1}{2}\). Vajadzīgais pierādīts.