Uz \(n\) šķīvjiem atrodas konfektes; konfekšu pavisam ir \(k\), pie tam \(n \geq 4\) un \(k \geq 4\). Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties divus šķīvjus, uz katra no kuriem ir vismaz viena konfekte, paņemt no katra izvēlētā šķīvja vienu konfekti un tās abas uzlikt uz kāda cita škīvja. Citas darbības nav atļautas.
Vai noteikti var panākt, ka visas konfektes atrodas uz viena šķīvja?
Jā, var. Izmantosim matemātisko indukciju pēc \(k\).
Bāze \(k=4\). Apskatām \(4\) šķīvjus, uz kuriem kopā atrodas visas konfektes. Pārveidojumu virkne
\[(1,\ 1,\ 1,\ 1) \rightarrow(3,\ 1,\ 0,\ 0) \rightarrow(2,\ 0,\ 2,\ 0) \rightarrow(1,\ 0,\ 1,\ 2) \rightarrow(0,\ 0,\ 0,\ 4)\]
ietver sevī visus principiāli dažādos konfekšu sadalījumus un parāda, ka mērķis ir sasniedzams. Pieņemsim, ka apgalvojums pierādīts patvaļīgam \(n \geq 4\) un kopējam konfekšu skaitam \(4,\ 5,\ \ldots,\ m\). Apskatām \(m+1\) konfekti. Vispirms ignorējam vienu konfekti un savācam pārējās uz šķīvja \(S\). Ja ignorētā konfekte arī ir uz \(S\), viss kārtībā. Pretējā gadījumā mums ir šķīvis ar \(m\) konfektēm, šķīvis ar \(1\) konfekti un vēl vismaz \(2\) tukši šķīvji. Mērķis sasniedzams šādi:\[(1,\ m,\ 0,\ 0) \rightarrow(0,\ m-1,\ 2,\ 0) \rightarrow(0,\ m-2,\ 1,\ 2) \rightarrow(2,\ m-3,\ 0,\ 2) \rightarrow(1,\ m-1,\ 0,\ 1) \rightarrow(0,\ m+1,\ 0,\ 0)\]