Atrisinājums

Pieņemsim, ka \(a^{2}+3ab+b^{2}=n^{2}\). Tā kā \((3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1\) un \((3k+2)^{2}=9k^{2}+12k+4\), secinām: ja ne \(a\), ne \(b\) nedalās ar \(3\), tad kreisā puse dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\). Bet \(n^{2}\) vai nu dalās ar \(3\), vai dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\); tāpēc vai nu \(a\), vai \(b\) dalās ar \(3\). Varam pieņemt, ka \(a=3\). Iegūstam \(b^{2}+9b+9=n^{2}\), ko pārveidojam par \(4b^{2}+36b+36=4n^{2},\ (2b+9)^{2}-45=(2n)^{2}\) un \((2b-2n+9)(2b+2n+9)=45\). Tā kā \(b\) un \(n\) - naturāli skaitļi, tad vai nu \(2b-2n+9=1\) un \(2b+2n+9=45\) (tad \(b=7\), \(n=11\)), vai \(2b-2n+9=3\) un \(2b+2n+9=15\) (tad \(b=0\) - neder), vai arī \(2b-2n+9=5\) un \(2b+2n+9=9\) (tad \(b<0\) - neder). Tātad \(a=3,\ b=7\). Simetrijas pēc der arī atbilde \(a=7,\ b=3\).