Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(10-9-1=0\) dalās ar \(81\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka prasītais izpildās, ja \(n=k\), tas ir, \(10^{k}-9 k-1\) dalās ar \(81\).

Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka prasītais izpildās arī tad, ja \(n=k+1\), tas ir, \(10^{k+1}-9(k+1)-1\) dalās ar \(81\).

Pārveidojam izteiksmi:

\[10^{k+1}-9(k+1)-1=10 \cdot 10^{k}-9 k-10=10 \cdot \underbrace{\left(10^{k}-9 k-1\right)}_{\begin{array}{c} \text{ dalās ar } 81 \\ \text{ pēc pieņēmuma } \end{array}}+\underbrace{81 k}_{\text{dalās ar } 81}\]

Tā kā katrs saskaitāmais dalās ar \(81\), tad arī summa dalās ar \(81\). Secinājums. Tā kā vienādība ir patiesa, ja \(n=1\), un no tā, ka vienādība ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka vienādība ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka apgalvojums ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.