Atrisinājums

Katru zemsaknes izteiksmi izteiksim kā summas vai starpības kvadrātu un veiksim ekvivalentus pārveidojumus:

\[\begin{gathered} \sqrt{17-12 \sqrt{2}}+\sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{3+2 \sqrt{2}}= \\ =\sqrt{3^{2}-2 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{2}+(2 \sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1+1^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1+1^{2}}= \\ =\sqrt{(3-2 \sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}=|3-2 \sqrt{2}|+|\sqrt{2}-1|+|\sqrt{2}+1|= \\ =3-2 \sqrt{2}+\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1=3 . \end{gathered}\]

Atrisinājums

Veicam ekvivalentus pārveidojumus:

\[\begin{aligned} & \sqrt{17-12 \sqrt{2}}+\sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{3+2 \sqrt{2}}=3 \\ & \sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{3+2 \sqrt{2}}=3-\sqrt{17-12 \sqrt{2}} \end{aligned}\]

levērojam, ka \(\sqrt{17-12 \sqrt{2}}<\sqrt{9}\), tāpēc vienādības labās puses izteiksmes vērtība ir pozitīva, un varam kāpināt kvadrātā abas vienādības puses, pēc tam veicam ekvivalentus pārveidojumus:

\[\begin{gathered} (\sqrt{3-2 \sqrt{2}}+\sqrt{3+2 \sqrt{2}})^{2}=(3-\sqrt{17-12 \sqrt{2}})^{2} ; \\ 3-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{(3-2 \sqrt{2})(3+2 \sqrt{2})}+3+2 \sqrt{2}=9-6 \sqrt{17-12 \sqrt{2}}+17-12 \sqrt{2} ; \\ 3-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{9-8}+3+2 \sqrt{2}=9-6 \sqrt{17-12 \sqrt{2}}+17-12 \sqrt{2} ; \\ 6 \sqrt{17-12 \sqrt{2}}=18-12 \sqrt{2} . \end{gathered}\]

Ievērojam, ka \(12 \sqrt{2}<18\), tāpēc abas vienādības puses ir pozitīvas un varam tās kāpināt kvadrātā, pēc tam veicam ekvivalentus pārveidojumus:

\[\begin{gathered} (6 \sqrt{17-12 \sqrt{2}})^{2}=(18-12 \sqrt{2})^{2} ; \\ 36 \cdot(17-12 \sqrt{2})=324-18 \cdot 24 \sqrt{2}+288 ; \\ 612-36 \cdot 12 \sqrt{2}=612-18 \cdot 24 \sqrt{2} ; \\ 3 \cdot 12 \cdot 12 \sqrt{2}=3 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 12 \sqrt{2} . \end{gathered}\]

Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi un iegūta patiesa vienādība, tad arī dotā vienādība ir patiesa.