Atrisinājums

Vispirms ievērosim, ka abi pirmskaiț̣i \(p\) un \(q\) vienlaicīgi nevar būt pāra skaitļi vai nepāra skaitl̦i. Ja \(p=q=2\), tad \(2^{2} \neq 2^{2}+7\). Ja gan \(p\), gan \(q\) būtu nepāra skaitli, tad \(p^{q}\) būtu nepāra skaitlis, bet \(q^{p}+7\) būtu pāra skaitlis, tāpēc vienādība nebūtu patiesa. Tādẹl tieši viens no abiem skaitliem ir 2, bet otrs ir kāds nepāra pirmskaitlis. Apskatīsim gadījumu, ja \(p=2\). Tātad mums jāatrod visi nepāra pirmskaiți \(q\), lai izpildītos vienādība \(2^{q}=q^{2}+7\). Apskatām divas mazākās \(q\) vērtības:

• ja \(q=3\), tad \(2^{3}=9 \neq 16=3^{2}+7\);
• ja \(q=5\), tad \(2^{5}=32=5^{2}+7\), tātad \((2 ; 5)\) ir derīgs skaitlu pāris.

Lai pamatotu, ka citu atrisinājumu nav, parādīsim, ka lielākām \(q\) vērtībām vienādības kreisās puses izteiksme vienmēr ir lielāka nekā labās puses izteiksme, tas ir, ka visiem naturāliem \(q \geq 7\) izpildās \(2^{q}>q^{2}+7\). Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(q=7, \operatorname{tad} 2^{7}=128>56=7^{2}+7\).
Induktīvais pieņēmums. Pien̦emsim, ka nevienādība izpildās, ja \(q=k \geq 7\), tas ir, \(2^{k}>k^{2}+7\).
Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka nevienādība ir spēkā arī tad, ja \(q=k+1\), tas ir,

\[2^{k+1}>(k+1)^{2}+7=k^{2}+2k+8\]

Izmantojam induktīvo pieņēmumu, ka \(2^{k}>k^{2}+7\), un izteiksmju novērtēšanu, ievērojot, ka \(k \geq 7\):

\[2^{k+1}=2 \cdot 2^{k}>2\left(k^{2}+7\right)=k^{2}+k^{2}+14 \geq k^{2}+7 k+14>k^{2}+2 k+8.\]

Secinājums. Tā kā nevienādība ir patiesa, ja \(q=7\), un no tā, ka nevienādība ir spēkā, ja \(q=k\), izriet, ka nevienādība ir spēkā arī \(q=k+1\), secinām, ka nevienādība ir spēkā visiem naturāliem skaitliem \(q \geq 7\). Tātad vienādojumam \(2^{q}=q^{2}+7\) nav atrisinājuma, ja \(q \geq 7\). Aplūkosim gadījumu, ja \(q=2\). Tātad mums jāatrod visi nepāra pirmskaitli \(p\), lai izpildītos vienādība \(p^{2}=2^{p}+7\) jeb \(2^{p}=p^{2}-7\). No iepriekš pierādītā jau zināms, ka visiem \(p \geq 7\) šî vienādība nav spēkā, jo tādā gadījumā \(2^{p}>p^{2}+7>p^{2}-7\). Atliek pārbaudīt gadījumus \(p=3\) un \(p=5\). Tie abi neder kā vienādojuma \(2^{p}=p^{2}-7\) atrisinājumi, jo \(2^{3} \neq 3^{2}-7\) un \(2^{5} \neq 5^{2}-7\). Līdz ar to vienīgais derīgais skaitļu pāris ir \((2;5)\). *Piezīme.* Gadījumu, ja \(q=2\), var pamatot, apskatot šo vienādojumu pēc moduļa 4. Tā kā \(p \geq 3\), tad \(2^{p}+7 \equiv 0+\) \(3 \equiv 3 \pmod 4\). Tā kā \(p\) ir nepāra skaitlis, tas ir, \(p=2n+1\) kādam naturālam skaitlim \(n\), tad $\(p^{2} \equiv(2 n+1)^{2} \equiv 4 n^{2}+4 n+1 \equiv 1 \pmod {4}\). Tā kā \(1 \not \equiv 3 \pmod {4}\), tad vienādojumam nav atrisinājuma, ja \(q=2\).