Uz galda stāv \(n\) kastes, kurās ir āboli un bumbieri, katrā kastē ir vismaz viens ābols un vismaz viens bumbieris. Zināms, ka kastes var sakārtot rindā gan tā, ka katrā nākamajā kastē ir par vienu ābolu vairāk nekā iepriekšējā, gan tā, ka katrā nākamajā kastē ir par vienu bumbieri vairāk nekā iepriekšējā, gan tā, ka katrā nākamajā kastē ir par vienu augli vairāk nekā iepriekšējā. Vai iespējams, ka: (A) \(n=2024\); (B) \(n=2025\)?
(A) Pamatosim, ka \(n=2024\) nav iespējams. Izmantosim pierādījumu no pretējā. Pienemsim, ka mums ir tādas 2024 kastes ar augliem, kas atbilst uzdevuma nosacijumiem. Tā kā kastes var pārkārtot tā, ka katrā nākamajā kastē ir par vienu ābolu vairāk nekā iepriekšējā, tad varam secināt, ka ābolu skaits šajā sakārtojumā ir \(2024\) pēc kārtas esoši naturāli skaiț̣i. Ja ar \(a\) apzīmējam mazāko ābolu skaitu kādā kastē, tad lielākais skaits būs \(a+2023\). Pie tam varam secināt, ka ābolu kopā ir \(\frac{a+(a+2023)}{2} \cdot 2024=1012(2 a+2023)\). Līdzīgi varam spriest par bumbieriem, tas ir, ja mazāko bumbieru skaitu apzīmējam ar \(b\), tad kopējais bumbieru skaits ir 1012 \((2 b+2023)\). Vēl ir dots, ka šīs kastes var sakārtot tā, lai kopējais auglu skaits veidotu pēc kārtas esošu naturālu skaitlu virkni. Ja apzīmējam mazāko auglu skaitu ar \(k\), tad kopējais auglu skaits visās kastēs ir \(1012(2 k+2023)\), jo auglu skaits kastēs ir pēc kārtas esoši naturāli skaiț̣i. levērojam, ka kopējais auglu skaits būs arī 1012 \((2 a+2023)+1012(2 b+2023)=\) \(=1012(2 a+2023+2 b+2023)\). Tātad jābūt, ka
\[ \begin{aligned} 1012(2 a+2023+2 b+2023) & =1012(2 k+2023) \\ 2(a+b+2023) & =2 k+2023 \end{aligned} \]
Iegūstam pretrunu. Vienādības kreisās puses vērtība ir pāra skaitlis, bet labās puses izteiksmes vērtība ir nepāra skaitlis. Tātad pienēmums ir aplams un nav iespējams, ka uz galda ir 2024 kastes. **(B)** Parādīsim, kā izveidot kastes ar augliem tā, lai izpildītos uzdevuma nosacijumi, ja \(n=2025\). Saliksim auglus tā, ka gan ābolu, gan bumbieru skaits kastēs būs visi naturālie skaiț̣i no 1 līdz 2025, bet kopējās auglu skaits kastēs būs visi naturālie skaiți no \(1014\) līdz \(3038\). Sakārtosim kastes vienā rindā. Kā salikt ābolus un bumbierus kastēs parādīts tabulā. | Kastes nr. | 1. | 2. | 3. | \(\ldots\) | 1013. | 1014 | 1015. | \(\ldots\) | 2024. | 2025. | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | Ābolu skaits | 1 | 2 | 3 | \(\ldots\) | 1013 | 1014 | 1015 | \(\ldots\) | 2024 | 2025 | | Bumbieru skaits | 2025 | 2023 | 2021 | \(\ldots\) | 1 | 2024 | 2022 | \(\ldots\) | 4 | 2 | | Kopā | 2026 | 2025 | 2024 | \(\ldots\) | 1014 | 3038 | 3037 | \(\ldots\) | 2028 | 2027 | Vispirms katrā kastē saliekam ābolus tā, ka pirmajā kastē ir 1 ābols un katrā nākamajā kastē ir par 1 ābolu vairāk nekā iepriekšējā (tātad pēdējā kastē ir 2025 āboli). Tad pirmajā kastē ieliksim 2025 bumbierus, bet katrā nākamajā par 2 bumbieriem mazāk līdz pat 1013. kastei, kurā ielieksim 1 bumbieri. Tālāk 1014. kastē ieliksim 2024 bumbierus un atkal katrā nākamajā kastē ieliksim par 2 bumbieriem mazāk nekā iepriekšējā līdz nonāksim pie 2025. kastes, kurā ieliksim 2 bumbierus. Redzams, ka pirmajās 1013 kastēs auglu skaits ir attiecīgi no \(2026\) līdz \(1014\) (katrā nākamajā kastē par vienu mazāk), bet atlikušajās \(1012\) kastēs tas ir attiecīgi no \(3038\) līdz \(2027\) (katrā nākamajā kastē par vienu mazāk).