Atrisinājums

Sadalām vienādības labo pusi reizinātājos:

\[(a+b)^{2}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\]

Ievērojam, ka jebkuram skaitlu pārim \((a ; b)\), kuram \(a+b=0\), dotā vienādība ir identitāte, jo tad abas puses ir vienādas ar \(0\). Tātad der skait!u pāri \((k ;-k)\), kur \(k\) ir vesels skaitlis. Apskatām gadījumu, kad \(a+b \neq 0\). Dotās vienādības abas puses dalām ar izteiksmi \(a+b \neq 0\) un iegūstam:

\[a+b=a^{2}-a b+b^{2}\]

Veicot ekvivalentus pārveidojumus, iegūstam:

\[\begin{gathered} a^{2}-a-a b+b^{2}-b=0 \\ 2 a^{2}-2 a-2 a b+2 b^{2}-2 b=0 \\ \left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)+a^{2}-2 a+b^{2}-2 b=0 \\ (a-b)^{2}+\left(a^{2}-2 a+1\right)+\left(b^{2}-2 b+1\right)-2=0 \\ (a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}=2 \end{gathered}\]

Tā kā \(a\) un \(b\) ir veseli skaiț̣i, tad vienīgais veids, kā trīs veselu skaitlu kvadrātu summai iegūt vērtību 2, ir, ja viens saskaitāmais ir 0 , bet atlikušie divi ir 1 . Apskatām visus gadījumus. * Ja \(a-b=0\) jeb \(a=b\), tad pārējiem saskaitāmajiem jābūt vienādiem ar \(1\), tātad \(a-1=b-1=1\) vai arī \(a-1=b-1=-1\) (šis gadījums neder, jo \(a+b \neq 0\) ). Tātad \(a=b=2\) jeb der skaitlu pāris \((2;2)\). * Ja \(a-1=0\) jeb \(a=1\), tad \((1-b)^{2}+(b-1)^{2}=2(b-1)^{2}=2\) jeb \(b=0\) vai \(b=2\), līdz ar to iegūstam divus atrisinājumus \((1 ; 0)\) un \((1 ; 2)\). * Gadījums, kad \(b-1=0\), ir simetrisks iepriekšējam, tad secinām, ka der arī skait|u pāri \((2 ; 1)\) un \((0 ; 1)\). Līdz ar to esam ieguvuši, ka derīgie skaitlu pāri ir: \((1 ; 0),(1 ; 2),(0 ; 1),(2 ; 1),(2 ; 2)\) un \((k ;-k)\), kur \(k\) ir vesels skaitlis. Piezīme. Vienādojumu \(a+b=a^{2}-a b+b^{2}\) var risināt arī kā kvadrātvienādojumu \(a^{2}-(b+1) a+b^{2}-b=0\) attiecībā pret nezināmo \(a\), tad \(D=-3 b^{2}+6 b+1\), kuram ir reālas saknes, ja \(D \geq 0\) jeb \(b \in\left[\frac{3-2 \sqrt{3}}{3} ; \frac{3+2 \sqrt{3}}{3}\right]\). Pārbauda veselās \(b\) vērtības, kas atrodas atbilstošajā intervālā, tās ir \(0 ; 1 ; 2\).