Doti reāli skaiții \(x\) un \(y\), kuriem \(xy^{3}+1=x+y^{3}\). Pierādīt, ka \(y x^{3}+1=y+x^{3}\).
Veicam ekvivalentus pārveidojumus un sadalām vienādības kreiso pusi reizinātājos:
\[ \begin{gathered} x y^{3}+1-x-y^{3}=0 \\ x\left(y^{3}-1\right)-\left(y^{3}-1\right)=0 ; \\ \left(y^{3}-1\right)(x-1)=0 . \end{gathered} \]
Tā kā reizinājums ir vienāds ar 0 , tad \(y^{3}-1=0\) vai \(x-1=0\) jeb \(y=1\) vai \(x=1\). Apskatām abus gadījumus: * Ja \(y=1\), tad vienādība \(y x^{3}+1=y+x^{3}\) ir patiesa, jo \(x^{3}+1=1+x^{3}\); * Ja \(x=1\), tad vienādība \(y x^{3}+1=y+x^{3}\) ir patiesa, jo \(y+1=y+1\).