Atrisinājums-1

Atverot iekavas un abām vienādojuma pusēm atņemot \(4x^{2}y^{2}\), iegūstam:

\[\begin{aligned} & x^{4} y^{4}+x^{4}+y^{4}+1-4 x^{2} y^{2}=0 \\ & \left(x^{4} y^{4}-2 x^{2} y^{2}+1\right)+\left(x^{4}-2 x^{2} y^{2}+y^{4}\right)=0 \\ & \left(x^{2} y^{2}-1\right)^{2}+\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}=0 \end{aligned}\]

Divu kvadrātu summa ir nulle tikai tad, ja katrs saskaitāmais ir nulle, tātad

\[x^{2} y^{2}=1 \text { un } x^{2}=y^{2}\]

Tas nozīmē, ka \(x^{2}=y^{2}=1\). Tātad vienādojumam ir četri atrisinājumi: \((-1 ;-1),(-1 ; 1),(1 ;-1)\) un \((1 ; 1)\).

Atrisinājums-2

Tā kā reāla skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs, tad

\[\begin{aligned} & \left(x^{2}-1\right)^{2} \geq 0 \\ & x^{4}-2 x^{2}+1 \geq 0 \\ & x^{4}+1 \geq 2 x^{2} \end{aligned}\]

Analoģiski iegūstam, ka \(y^{4}+1 \geq 2 y^{2}\). Sareizinot kopā pēdējās divas nevienādības (to drīkst darīt, jo abu nevienādību abas puses ir nenegatīvas), iegūstam, ka

\[\left(x^{4}+1\right)\left(y^{4}+1\right) \geq 4 x^{2} y^{2}\]

No iepriekš veiktajiem spriedumiem izriet, ka vienādība tiks sasniegta tad un tikai tad, ja \(\left(x^{2}-1\right)^{2}=0\) un \(\left(y^{2}-1\right)^{2}=0\), tas ir, \(x^{2}=y^{2}=1\). Tātad vienādojumam ir četri atrisinājumi: \((-1;-1)\), \((-1;1)\), \((1;-1)\) un \((1;1)\).