Atrisinājums-1

Pienemsim pretējo, ka šādi skaitḷi eksistē un apzīmēsim tos attiecīgi ar \(x\) un \(x+1\), iegūstot vienādojumu \(x(x+1)=27n+11\).

Pareizinot abas puses ar 4 un pieskaitot 1, iegūstam, ka

\[\begin{gathered} 4 x^{2}+4 x+1=108 n+45 \\ (2 x+1)^{2}=108 n+45 \end{gathered}\]

Vienādojuma labā puse dalās ar \(9\), tātad \(2 x+1\) dalās ar \(3\). Izdalot abas vienādojuma puses ar \(9\), iegūstam, ka

\[\left(\frac{2 x+1}{3}\right)^{2}=12 n+5\]

Ievērojam, ka, dalot vienādojuma labo pusi ar 3, tiek iegūts atlikums 2. Toties, dalot skaitla kvadrātu ar 3, var iegūt tikai atlikumu 0 vai 1. Tātad šim vienādojumam nav atrisinājuma un esam ieguvuši pretrunu. Līdz ar to nekādu divu secīgu naturālu skait|u reizinājums nav izsakāms formā \(27 n+11\), kur \(n\) - naturāls skaitlis.

Atrisinājums-2

Pieņemsim pretējo, ka šādi skaitḷi eksistē un apzīmēsim tos attiecīgi ar \(x\) un \(x+1\), iegūstot vienādojumu \(x(x+1)=27 n+11\).

Ja \(x\) vai \(x+1\) dalās ar \(3\), tad vienādojuma kreisā puse dalās ar \(3\), bet labā nedalās, tātad vienādojumam nav atrisinājuma. No tā iegūstam, ka, \(x\) dalot ar \(3\), nevar iegūt atlikumu \(0\) vai \(2\), tātad tiek iegūts atlikums \(1\). Tātad \(x\) var izeikt formā \(x=3k+1\). Ievietojot doto vienādību vienādojumā, iegūstam

\[\begin{gathered} (3 k+1)(3 k+2)=27 n+11 \\ 9 k^{2}+9 k+2=27 n+11 \\ 9 k^{2}+9 k=27 n+9 \end{gathered}\]

Abas vienādojuma puses izdalot ar \(9\) un sadalot reizinātājos, iegūstam

\[k(k+1)=3n+1\]

Tā kā vienādojuma labā puse nedalās ar \(3\), tad analogi iepriekš secinātajam, iegūstam, ka, \(k\) dalot ar \(3\), var iegūt tikai atlikumu \(1\) (citādi vienādojuma kreisā puse dalīsies ar \(3\)). Līdz ar to, apzīmējot \(k=3m+1\), iegūstam vienādojumu

\[\begin{gathered} (3 m+1)(3 m+2)=3 n+1 \\ 9 m^{2}+9 m=3 n-1 \end{gathered}\]

Ievērojam, ka vienādojuma kreisā puse dalās ar \(3\), bet labā - nedalās. Tātad šim vienādojumam nav atrisinājuma un esam ieguvuši pretrunu. Līdz ar to nekādu divu secīgu naturālu skaitlu reizinājums nav izsakāms formā \(27n+11\), kur \(n\) - naturāls skaitlis.