Atrast mazāko reālo skaitli \(a\), ar kuru visiem reāliem skaitliem \(x, y, z\) ir spēkā nevienādība:
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}+a \geq x + 2y + 3z\]
Mazākā iespējamā vērtība ir \(a=\frac{7}{2}\). Ekvivalenti pārveidosim doto nevienādību, atdalot pilnos kvadrātus:
\[ \begin{gathered} \left(x^{2}-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^{2}-2 y+1\right)+\left(z^{2}-3 z+\frac{9}{4}\right) \geq \frac{1}{4}+1+\frac{9}{4}-a \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2}+\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2} \geq \frac{7}{2}-a \end{gathered} \]
Vispirms pamatosim, ka \(a\) nevar būt mazāks kā \(\frac{7}{2}\). Ievietosim nevienādībā \(x=\frac{1}{2}, y=1, z=\frac{3}{2}\), iegūstot, ka nevienādības kreisā puse kļūst vienāda ar \(0\), tātad \(a \geq \frac{7}{2}\). Ja \(a=\frac{7}{2}\), tad nevienādība izpildās visiem reāliem \(x, y\) un \(z\), jo triju kvadrātu summa noteikt ir nenegatīvs skaitlis. Tātad \(a=\frac{7}{2}\) ir mazākā iespējamā vērtība, ar kuru izpildās dotā nevienādība visiem reāliem skaitliem \(x, y, z\).