Atrisinājums-1

Pieņemsim pretējo, ka šādi skaitļi eksistē un apzīmēsim tos attiecīgi ar \(x\) un \(x+1\), iegūstot vienādojumu \(x(x+1)=36n+8\).

Pareizinot abas vienādojuma puses ar \(4\) un pieskaitot \(1\), iegūstam, ka

\[\begin{gathered} 4 x^{2}+4 x+1=144 n+33 \\ (2 x+1)^{2}=144 n+33 \end{gathered}\]

Ievērojam, ka \(144\) dalās ar \(9\), toties \(33\) dalās ar \(3\), bet nedalās ar \(9\). Tātad \(144 n+33\) dalās ar \(3\), bet nedalās ar \(9\), un tas nevar būt naturāla skaitḷa kvadrāts. Tātad esam ieguvuši pretrunu. Līdz ar to nekādu divu secīgu naturālu skaitļu reizinājums nav izsakāms formā \(36n+8\), kur \(n\) - naturāls skaitlis.

Atrisinājums-2

Pieņemsim, ka šāds secīgu naturālu skaitḷu pāris eksistē. Tad to reizinājums pēc moduḷa \(9\) ir \(8\), jo \(36n+8 \equiv 8 \pmod 9\). Aplūkosim, kādus atlikumus pēc moduḷa \(9\) var iegūt, reizinot secīgus skaitlus \(x\) un \((x+1)\).

\(x \pmod {9}\)	\(x+1 \pmod {9}\)	\(x(x+1) \pmod {9}\)
0	1	0
1	2	2
2	3	6
3	4	3
4	5	2
5	6	3
6	7	6
7	8	2
8	0	0

Visi iespējamie varianti ir aplūkoti un nevienā gadījumā reizinājuma atlikums pēc moduḷa \(9\) nav \(8\). Tātad esam ieguvuši pretrunu. Līdz ar to nekādu divu secīgu naturālu skaitḷu reizinājums nav izsakāms formā \(36n+8\), kur \(n\) ir naturāls skaitlis.