LV.NOL.2023.11.3
Dots vienādsānu trijstūris \(ABC\), kuram \(AB = AC\) un \(\sphericalangle BAC<60^{\circ}\). Riņka līnija, kuras centrs ir punktā \(B\) un rādiuss \(BC\), krusto trijstūra malas \(AC\) un \(AB\) attiecīgi punktos \(D\) un \(E\). Aprēķināt \(\frac{AD}{DC}\), ja \(\frac{AE}{EB}=\frac{2}{5}\).
Atrisinājums-1
Apzīmējam \(AE=2x\) un \(EB=BD=BC=5x\). Tad \(AB=AC=7x\).
Trijstūri \(ABC\) un \(BCD\) ir vienādsānu trijstūri (\(AB=AC\) pēc dotā un \(BC=BD\) kā rādiusi), turklāt leņķi pie pamata abiem trijstūriem ir vienādi ( \(\sphericalangle A C B\) ir kopīgs abiem trijstūriem, skat. 10.att.). Tātad \(\triangle B C D \sim \triangle A B C\) pēc pazīmes \(\ell \ell\).
Līdzīgos trijstūros atbilstošo malu garumi ir proporcionāli, tāpēc \(\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{DC}\) un līdz ar to iegūstam, ka \(DC=\frac{BC^{2}}{AB}=\frac{(5x)^{2}}{7x}=\frac{25x}{7}\). Tātad \(AD=7x-\frac{25x}{7}=\frac{24x}{7}\) un \(\frac{AD}{DC}=\frac{24}{25}\).
Atrisinājums-2
Apzīmējam \(AE=2x\) un \(EB=BD=BC=5x\) (skat. 10.att.). Tad \(AB=AC=7x\).
Pagarināsim \(AB\) līdz otram krustpunktam ar rinķa līniju, apzīmēsim to ar \(F\). Tādā gadījumā \(BF=EB=5x\) kā rādiusi un \(AF=AE+EB+BF=12x\). Izmantojot sekanšu īpašību, iegūstam, ka
\[AE \cdot AF = AD \cdot AC;\quad 2x \cdot 12x=AD \cdot 7x; \quad AD=\frac{24x^{2}}{7x}=\frac{24x}{7}\]
Tā kā \(DC=AC-AD=7x-\frac{24x}{7}=\frac{25x}{7}\), tad \(\frac{AD}{DC}=\frac{24}{25}\).