Pierādīt, ka \(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2} \geq x+y\) visiem reāliem \(x\) un \(y\).
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{gathered} x^{2}-x+y^{2}-y+\frac{1}{2} \geq 0 \\ x^{2}-2 \cdot \frac{1}{2} x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}-2 \cdot \frac{1}{2} y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \end{gathered}\]
Tā kā divu kvadrātu summa ir nenegatīva, tad iegūtā nevienādība ir patiesa, tātad arī sākotnējā nevienādība ir patiesa.